【题目】已知函数,其中
.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
平行,求
与
满足的关系;
(2)当时,讨论
的单调性;
(3)当时,对任意的
,总有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)①当
时,
在
上单调递增;②当
时,
在
和
上单调递增;在
上单调递减;当
时,函数
在
和
上单调递增;在
上单调递减;(3)
.
【解析】
(1)求出,由函数
在点
处的切线与
平行,得
,从而可得结果;(2)求出
,分三种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(3)当
时,
,
对任意的
恒成立等价于
在
恒成立. 设
,两次求导,可得
,从而可得结果.
(1)由题意,得.
由函数在点
处的切线与
平行,得
.
即.
(2)当时,
,
由知
.
①当时,
,
在
恒成立,
函数
在
上单调递增.
②当时,由
,解得
或
;
由,解得
.
函数在
和
上单调递增;在
上单调递减.
③当时,
,解得
或
;
由,解得
.
函数在
和
上单调递增;在
上单调递减.
(3)当时,
,
由,得
对任意的
恒成立.
,
,
在
恒成立.
设,则
,
令,则
,
由,解得
.
由,解得
;
由,解得
.
导函数
在区间
单增;在区间
单减,
,
在
上单调递减,
,
.
故所求实数的取值范围
.
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【题目】已知函数.
(1)若函数与
的图象上存在关于原点对称的点,求实数
的取值范围;
(2)设,已知
在
上存在两个极值点
,且
,求证:
(其中
为自然对数的底数).
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD=,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,求三棱锥P-EAD的体积.
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【题目】已知函数(a,b为常数),
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)在(1)的条件下,有两个不相等的实根,求b的取值范围;
(3)若对任意的,不等式
在
上恒成立,求b的取值范围.
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【题目】选修4-4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求曲线的普通方程;
(2)经过点(平面直角坐标系
中点)作直线
交曲线
于
,
两点,若
恰好为线段
的三等分点,求直线
的斜率.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,点O是对角线AC与BD的交点,AB=2,∠BAD=60°,M是PD的中点.
(Ⅰ)求证:OM∥平面PAB;
(Ⅱ)平面PBD⊥平面PAC;
(Ⅲ)当三棱锥C﹣PBD的体积等于 时,求PA的长.
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