Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）当时，设函数.证明：对于任意的，函数有且只有一个零点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见证明

【解析】

（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式分离常数，得到恒成立，构造函数，利用导数求得函数的最大值，由此求得的取值范围.（III）先求得的表达式，然后利用导数证得在上有一个零点.再利用导数证得在上没有零点，由此得证.

解：（Ⅰ）已知函数，

可得，且，

函数在处的切线方程为.

（Ⅱ）对任意恒成立，所以.

令，则

令，解得.

当时时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

所以，

所以，即，所以的取值范围为.

（Ⅲ）证明：由已知，则.且可知.

当时，，单调递增，，，所以在有唯一实根.

当时，令，则.，在单调递减；在单调递增.所以.所以在没有实根.

综上，对于任意的，函数有且只有一个零点.