【题目】在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形
是梯形,
∥
,
,平面
平面
,且
.
(Ⅰ)求证:∥平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)已知点在棱
上,且异面直线
与
所成角的余弦值为
,求线段
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
先利用线面垂直的性质证明直线平面
,以点
为原点,分别以
的方向为
轴,
轴,
轴的正向建立空间直角坐标系,(1)可得
是平面
的一个法向量,求得
,利用
,且直线
平面
可得结果;(2)利用向量垂直数量积为0,列方程组分别求出平面
与平面
的法向量,由空间向量夹角余弦公式可得结果;(3)设
,则
,
,
由,可得
, 解方程可得结果.
(1)平面
平面
,
平面平面
,
,
,
直线
平面
.
由题意,以点为原点,分别以
的方向为
轴,
轴,
轴的正向建立如图空间直角坐标系,
则可得:,
.
依题意,易证:是平面
的一个法向量,
又,
,
又直线
平面
,
.
(2)
.
设为平面
的法向量,
则,即
.
不妨设,可得
.
设为平面
的法向量,
又
,
则,即
.
不妨设,可得
,
,
又二面角为钝二面角,
二面角
的大小为
.
(3)设,则
,又
,
又,即
,
,解得
或
(舍去).
故所求线段的长为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴)中,圆
的方程为
.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线
交于点
,若点
的坐标为
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
,
是圆的切线,且
,曲线
是抛物线
的一部分,
,且
恰好等于圆
的半径.
(1)若米,
米,求
与
的值;
(2)若体育馆侧面的最大宽度不超过75米,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(1)若函数与
的图象上存在关于原点对称的点,求实数
的取值范围;
(2)设,已知
在
上存在两个极值点
,且
,求证:
(其中
为自然对数的底数).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为,根据(1)中的结果回答下列问题:
①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附:回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据:.
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