【题目】如图,在四棱锥中:
底面ABCD,底面ABCD为梯形,
,
,且
,BC=1,M为棱PD上的点。
(Ⅰ)若,求证:CM∥平面PAB;
(Ⅱ)求证:平面平面PAB;
(Ⅲ)求直线BD与平面PAD所成角的大小.
【答案】(Ⅰ )见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)30°
【解析】
(Ⅰ)过点M作MH∥AD,交PA于H,连接BH,BCMH为平行四边形,CM∥BH,从而得证;
(Ⅱ)要证平面平面PAB,即证
;
(Ⅲ)取PA的中点为N,连接BN,由(Ⅱ)可知BN⊥平面PAD,即∠BDN为直线BD与平面PAD所成角。
解:(Ⅰ)证明:过点M作MH∥AD,交PA于H,连接BH,
因为,所以
.
又MH∥AD,AD∥BC,所以HM∥BC.
所以BCMH为平行四边形,所以CM∥BH.
又BH平面PAB,CM平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(Ⅱ)∵底面ABCD,AD平面ABCD
∴,又
,且
∴,又
平面PAD
∴平面平面PAB;
(Ⅲ)取PA的中点为N,连接BN,
∵,∴BN⊥PA,连接DN
又平面平面PAB,故BN⊥平面
则∠BDN为直线BD与平面PAD所成角
此时,BN=,BD=
∴sin∠BDN=,即∠BDN=30°
∴求直线BD与平面PAD所成角的大小30°.
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【题目】某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
,
是圆的切线,且
,曲线
是抛物线
的一部分,
,且
恰好等于圆
的半径.
(1)若米,
米,求
与
的值;
(2)若体育馆侧面的最大宽度不超过75米,求
的取值范围.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费对年销售量(单位:t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究,发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了初步处理,得到下面的一些统计量的值.
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为,根据(1)中的结果回答下列问题:
①当年宣传费为10万元时,年销售量及年利润的预报值是多少?
②估算该公司应该投入多少宣传费,才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附:回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据:.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD=,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,求三棱锥P-EAD的体积.
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【题目】如图,在三棱锥中,
,
,
,
,
分别是
,
的中点,
在
上且
.
(I)求证:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值;
(III)在线段上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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