Question

【题目】已知函数，其中.

（Ⅰ）当a=1时，求函数的单调区间：

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调减区间为（1，+） ，增区间为（0,1）; （Ⅱ）见解析（Ⅲ）a>1

【解析】

（Ⅰ）当a=1, f′（x）=,解f′（x）<0和f′（x）>0确定单调区间；（Ⅱ）f′（x），讨论a≤0和a＞0时f′（x）的符号，确定单调性和极值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当 a≤0时，f(x)至多有一个零点，舍去；当a＞0时，函数的极小值为f(a)=设函数g(x)=lnx+x-1，求导确定g（x）：当0<x<1时，g(x)<0;x>1时，g(x)>0，分情况讨论：当0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0，f(x)至多有一个零点，不符合题意；当a>1时，由零点存在定理确定（）和（a,3a-1）各有一个零点，则a可求

（Ⅰ）当a=1时,, f′（x）=

当f′（x）<0时，x>1; f′（x）>0时，0<x<1

∴函数的单调减区间为（1，+） ，增区间为（0,1）

（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x），

若a≤0，则f′（x）＜0，此时f（x）在（0，+∞）递减，无极值

若a＞0，则由f′（x）＝0，解得：x＝a，

当0＜x＜a时，f′（x）>0，当x＞a时，f′（x）<0，

此时f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；

∴当x=a时，函数的极大值为f(a)=，无极小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

当 a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，则f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去；

当a＞0时，函数的极小值为f(a)=，

令g(x)=lnx+x-1(x>0)

∵ ∴g(x)在（0，+∞）单调递增，又g(1)=0, ∴0<x<1时，g(x)<0;x>1时，g(x)>0

(i) 当0<a≤1,f(a)=ag(a) ≤0,则函数f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去；

(ii) 当a>1时，f(a)=ag(a)>0

∵∴函数f(x)在（）内有一个零点，

∵f(3a-1)=aln(3a-1)-

设h(x)=lnx-x(x>2)

∵ ∴h(x)在（2，+∞）内单调递减，则h(3a-1)<h(2)=ln2-2<0

∴函数f（x）在（a,3a-1）内有一个零点.则当a>1时，函数f(x)恰有两个零点

综上，函数有两个不同的零点时，a>1