Question

1．已知椭圆C的离心率为$\frac{2}{3}$，且与椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$有相同的焦点，则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

Answer 1

分析 由$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$求出a，b，以及焦点所在的坐标轴，由a、b、c的关系求出c，即可得到焦点坐标，再由题意和离心率公式求出椭圆C的标准方程．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$得，a=5、b=3，且焦点在x轴上，
则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4，
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$的焦点的坐标为（-4，0）、（4，0），
∵椭圆C的离心率为$\frac{2}{3}$，且c=4，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，a=6，
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{36-16}$=$\sqrt{20}$，
∴椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，掌握椭圆的a，b，c的关系和焦点的位置是解题的关键．