Question

9．有下列四个结论，
①函数f（x）=|x|在x=0处连续但不可导；
②函数f（x）=x³的在x=0处没有切线．
③某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，那么该婴儿从出生到第3个月的平均变化率大于从第6个月到第12个月的平均变化率；
④$\int_{\;0}^{\;5}{（x-4）dx}=13$
其中结论正确的为①③（填上所有结论正确的题目代号）

Answer 1

分析 ①根据函数的连续性与导数的定义，即可判断f（x）在x=0处连续且不可导；
②可以求出f（x）在x=0处的切线方程；
③根据图象求出该婴儿从出生到第3个月的平均变化率和从第6个月到第12个月的平均变化率；
④计算${∫}_{0}^{5}$（x-4）dx即可．

解答 解：对于①，∵函数f（x）=|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＞0}\\{0，x=0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$，结合函数的图象与导数的定义知，
f（x）在x=0处是连续的，但在x=0的两侧，导数不相等，
∴f（x）在x=0处不可导，①正确；
对于②，∵函数f（x）=x³，∴f′（x）=3x²，
∴当x=0时，k=f′（0）=0，
∴f（x）在x=0处的切线方程为y=0，②错误；
对于③，根据图象知，该婴儿从出生到第3个月的平均变化率为$\frac{6.5-3.5}{3-0}$=1，
从第6个月到第12个月的平均变化率为$\frac{11-8.6}{12-6}$=0.4，
∴该婴儿从出生到第3个月的平均变化率大于从第6个月到第12个月的平均变化率，③正确；
对于④，${∫}_{0}^{5}$（x-4）dx=（$\frac{1}{2}$x²-4x）${|}_{0}^{5}$=$\frac{1}{2}$×5²-4×5=-7.5，∴④错误．
综上，正确的命题序号是①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数与积分的简单应用问题，是综合性题目．