Question

15．已知函数$f（x）=|{\frac{2}{3}x+1}|$．
（1）若f（x）≥-|x|+a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若对于实数x，y，有|x+y+1|≤$\frac{1}{3}$，|y-$\frac{1}{3}}$|≤$\frac{2}{3}$，求证：f（x）≤$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 （1）令g（x）=f（x）+|x|，化简g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值即可得出a的范围；
（2）利用绝对值三角不等式证明．

解答 解：（1）∵f（x）≥-|x|+a恒成立，
∴a≤|$\frac{2}{3}x+1$|+|x|恒成立，
令g（x）=|$\frac{2}{3}x+1$|+|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{5}{3}x-1，x≤-\frac{3}{2}}\\{-\frac{1}{3}x+1，-\frac{3}{2}＜x＜0}\\{\frac{5}{3}x+1，x≥0}\end{array}\right.$，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，
∴g（x）的最小值为g（0）=1，
∴a≤1．
（2）f（x）=|$\frac{2x}{3}+1$|=$\frac{2}{3}$|x+y+1-y+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$|≤$\frac{2}{3}$|x+y+1|+$\frac{2}{3}$|y-$\frac{1}{3}$|+$\frac{2}{3}×\frac{1}{6}$≤$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{3}$$+\frac{2}{3}$+$\frac{1}{6}$）=$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了分段函数的最值计算，绝对值三角不等式，属于中档题．