Question

3．如图，四棱锥P-ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠BCD=∠ADC=Rt∠，AD=2BC=2CD=2，M是PD的中点．
（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求直线CD与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点N，连结MN，BN，通过证明四边形BCMN是平行四边形得出CM∥BN，于是CM∥平面PAB；
（2）取AD的中点O，连结PO，OB，以O为原点建立空间坐标系，求出平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{CD}$的坐标，计算$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{CD}$的夹角即可得出直线CD与平面PAB所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取PA的中点N，连结MN，BN，
∵M，N分别是PD，PA的中点，
∴MN∥AD，MN=$\frac{1}{2}$AD，
又BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴MN∥BC，MN=BC，
∴四边形BCMN是平行四边形，
∴CM∥BN，又CM?平面PAB，BN?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（2）取AD的中点O，连结PO，OB，
∵△PAD是等边三角形，
∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵BC=$\frac{1}{2}$AD=OD，BC∥AD，BC⊥CD，
∴四边形BCDO是正方形，
以O为原点，以OD，OB，OP为坐标轴建立空间坐标系，
则A（-1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（1，1，0），D（1，0，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7}•1}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴直线CD与平面PAB所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CD}$＞|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．