Question

16．下列命题中真命题的是（　　）
①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
②命题p：4＜r＜7，命题q：圆（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于l，则p是q的必要不充分条件；
③若p：x≤1，q：$\frac{1}{x}$＜1，则￢p是q的充分不必要条件．
④设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C-1），则C=7．

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①②
• D． ②③

Answer 1

分析 ①，若p∧q是假命题，则p，q至少有一个假命题；
②，求得圆心到直线的距离为5，又圆（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于l，半径r的取值范围是4＜r＜6，即可判定；
③，若$\frac{1}{x}$＜1，⇒x＞1或x＜0；若x＞1⇒$\frac{1}{x}＜1$，故￢p是q的充分不必要条件．
④，随机变量X服从正态分布N（3，7），则其正态分布曲线关于直线x=3对称，当P（X＞C+1）=P（X＜C-1）时，C+1+C-1=6，则C=3．

解答 解：对于①，若p∧q是假命题，则p，q至少有一个假命题，故错；
对于②，命题q：圆心到直线的距离为5，又圆（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于l，故半径r的取值范围是4＜r＜6
则p是q的必要不充分条件，故正确．
对于③，若$\frac{1}{x}$＜1，⇒x＞1或x＜0；∵￢p：x＞1⇒$\frac{1}{x}＜1$，故￢p是q的充分不必要条件，故正确．
对于④，随机变量X服从正态分布N（3，7），则其正态分布曲线关于直线x=3对称，当P（X＞C+1）=P（X＜C-1）时，C+1+C-1=6，则C=3．故错．
故选：D

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了复合命题、充要条件的判定，属于中档题．