Question

12．已知点P为抛物线y²=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x-3）²+y²=1的两条切线PM、PN，切点为M、N
（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，-2）；
（II）四边形PMAN的面积的最小值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （I）设P（x，y），则|PA|²=（x-3）²+y²=（x-3）²+2x=（x-2）²+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；
（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．

解答 解：（I）设P（x，y），则|PA|²=（x-3）²+y²=（x-3）²+2x=（x-2）²+5，
∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，
∴点P的坐标为（2，±2）；
（II）圆C：（x-3）²+y²=1圆心C（3，0）、半径r为：1
根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．
由（I），|PA|最小为$\sqrt{5}$，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×$\frac{1}{2}×1×\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$
故答案为：（2，2）或（2，-2）；$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时还考查了转化思想．此题属中档题．