Question

8．函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在[-1，0]与[4，5]上的单调性相同，在[0，2]与[4，5]上的单调性相反．
（1）求c的值；
（2）当x为何值时，f（x）取得极值？并判断处这些极值点的横坐标与2、4的大小关系？
（3）f（x）的图象上是否存在点M（x₀，y₀），使f（x）在M处的切线斜率为3b？

Answer 1

分析 （1）根据f′（0）=0，从而求出c的值；（2）先求出函数的导数，求出函数的极值点，从而判断出结论；（3）先求出$\frac{b}{a}$的范围，假设存在，得到方程无解，从而判断结果．

解答 解：（1）由条件可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0．
（2）由（1）得：f′（x）=3ax²+2bx，
令f′（x）=0，则3ax²+2bx=0，
解得：x₁=0，x₂=-$\frac{2b}{3a}$，
∴当x=0或x=-$\frac{2b}{3a}$时，函数f（x）取得极值，
显然0＜2，
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
∴2≤-$\frac{2b}{3a}$≤4；
（3）由（2）得：2≤-$\frac{2b}{3a}$≤4，
解得：-6≤$\frac{b}{a}$≤-3，
假设存在点M（x₀，y₀），使得f（x）在点M处的切线斜率为3b，
则f′（x₀）=3b，即3${{a}_{0}}^{2}$+2bx₀-3b=0，
∴△=4ab（$\frac{b}{a}$+9），
∵-6≤$\frac{b}{a}$≤-3，
∴ab＜0，$\frac{b}{a}$+9＞0，
∴△＜0，x₀无解，
故不存在点M（x₀，y₀），使f（x）在M处的切线斜率为3b．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．