Question

19．函数y=x${\;}^{（-1）^{p}\frac{n}{m}}$（m，n，p∈N，且m，n互质）的图象关于原点对称，且不经过原点，则m，n，p应满足的条件是m是奇数、n是偶数或m、n都是奇数，且p为奇数（m，n，p∈N）．

Answer 1

分析 根据幂函数的性质和条件即可得到结论．

解答 解：∵函数y=x${\;}^{（-1）^{p}\frac{n}{m}}$（m，n，p∈N，且m，n互质）的图象不经过原点，
∴p为奇数，
∵函数y=x${\;}^{（-1）^{p}\frac{n}{m}}$（m，n，p∈N，且m，n互质）的图象关于原点对称，
∴由m，n互质得：m，n两个数中一个奇数，一个偶数，或两个都是奇数，
若分母m是偶数，分子n是奇数，则x＜0是无意义，则不满足图象关于原点对称，
所以m是奇数、n是偶数或m、n都是奇数，
故答案为：m是奇数、n是偶数或m、n都是奇数，且p为奇数（m，n，p∈N）．

点评 本题考查幂函数的性质的应用，属于基础题．