Question

已知椭圆的左焦点为,左、右顶点分别为,过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点,椭圆的离心率为,．

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上不同两点，轴，圆过点，且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的内切圆．问椭圆是否存在过点的内切圆？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）因为离心率为，所以，

所以椭圆方程可化为：，直线的方程为，

由方程组，得：,即,

设，则，

又，

所以，所以，椭圆方程是；

（2）由椭圆的对称性，可以设，点在轴上，设点，

则圆的方程为，

由内切圆定义知道，椭圆上的点到点距离的最小值是，

设点是椭圆上任意一点，则,…9分

当时，最小，所以①

又圆过点，所以②

点在椭圆上，所以③

由①②③解得：或，

又时，，不合，

综上：椭圆存在符合条件的内切圆，点的坐标是．