Question

15．如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆O的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．
（1）求证：SA∥平面PCD；
（2）求证：CD⊥平面SAB；
（3）求PD与平面SAB所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据条件便知PO∥SA，由线面平行的判定定理即可得出SA∥平面PCD；
（2）SO⊥底面圆O，从而得到SO⊥CD，而AB⊥CD，从而根据线面垂直的判定定理即可得出CD⊥平面SAB；
（3）由（2）DO⊥平面SAB，从而得到∠DPO为PD和平面SAB所成角，根据条件即可求出PO=$\sqrt{2}$，OD=2，从而在Rt△POD中便可求出tan∠DPO=$\frac{OD}{OP}$．

解答 解：（1）证明：连接PO；
∵P、O分别为SB、AB的中点，∴PO∥SA；
∵PO?平面PCD，SA?平面PCD；
∴SA∥平面PCD；
（2）证明：∵SO⊥底面圆O；
∴SO⊥CD；
又∵AB⊥CD，AB∩SO=O；
∴CD⊥平面SAB；
（3）∵CD⊥平面SAB；
∴∠DPO为PD与平面SAB所成的角；
∵PO?平面SOB，∴OD⊥PO；
在Rt△DOP中，OD=2，OP=$\frac{1}{2}$SB=$\sqrt{2}$；
∴tan∠DPO=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
∴PD与平面SAB所成的角的正切值$\sqrt{2}$．

点评 考查中位线的性质，线面平行、线面垂直的判定定理，线面角的定义及其求法，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及线面垂直的性质．