Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（-$\frac{π}{2}$，0））的图象与x轴的一个交点为A（$\frac{π}{12}$，0），与点A相邻的函数取最大值的点是B（$\frac{π}{3}$，2）．
（1）求此函数的解析式；
（2）当x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$）时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，可得A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$$-\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，利用周期公式可求ω，将（$\frac{π}{12}$，0）代入解析式得sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，结合范围φ∈（-$\frac{π}{2}$，0），即可得解．
（2）由x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$），可得2x$-\frac{π}{6}$∈（-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）由题意，A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}$$-\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），将（$\frac{π}{12}$，0）代入，得sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0，
∵φ∈（-$\frac{π}{2}$，0），
故φ=$-\frac{π}{6}$，
∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x$-\frac{π}{6}$）．
（2）∵x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$），
∴2x$-\frac{π}{6}$∈（-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
∴f（x）=2sin（2x$-\frac{π}{6}$）∈[-2，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．