Question

1．已知等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，S₃=21，S₆=24．
（1）试确定该数列的第一个负项？
（2）试确定当n为何值时，S_n最大？
（3）求数列{|a_n|}的前20项和T₂₀．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意，列出关于首项a₁与公差d的方程组，解之即可求得a_n由a_n=11-2n≥0得该数列的第一个负项；
（2）由a_n=11-2n≥0⇒n≤5.5（n∈N^*），从而可知当n≥6时，a_n＜0，即可定当n为何值时，S_n最大；
（3）T₂₀=-（a₁+a₂+…+a₅+a₆+…+a₂₀）+2（a₁+a₂+…+a₅），从而可求得答案．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=21}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=24}\end{array}\right.$，
解得a₁=9，d=-2，
∴a_n=9+（n-1）×（-2）=11-2n，
由a_n=11-2n≥0得：n≤5.5，又n∈N^*，
∴当n≥6时，a_n＜0，
∴数列的第一个负项为-1；
（2）由a_n=11-2n≥0得：n≤5.5，又n∈N^*，
∴当n≥6时，a_n＜0，
∴当n为5时，S_n最大；
（3）数列{|a_n|}的前n项和为T_n，
∴T₂₀=|a₁|+|a₂|+…+|a₅|+|a₆|+…+|a₂₀|
=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a₂₀
=-（a₁+a₂+…+a₅+a₆+…+a₂₀）+2（a₁+a₂+…+a₅）
=-[20a₁+$\frac{20×19}{2}$d]+2（5a₁+$\frac{5×4}{2}$d）
=-10a₁-170d
=-10×9-170×（-2）
=250．

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的综合应用，（3）中去掉绝对值符号是关键，属于中档题．