Question

13．直线y=x+1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两渐近线l₁，l₂依次交于A，B两点，若|AB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{30}}{5}$
• B． $\frac{6}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{5}$或$\sqrt{6}$
• D． $\frac{6}{5}$或6

Answer 1

分析 双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{b}{a}$x，直线y=x+1与y=±$\frac{b}{a}$x联立，可得A，B的横坐标分别为$\frac{a}{b-a}$，-$\frac{a}{b+a}$，利用弦长公式，求出$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可得出结论．

解答 解：双曲线的渐近线的方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
直线y=x+1与y=±$\frac{b}{a}$x联立，可得A，B的横坐标分别为$\frac{a}{b-a}$，-$\frac{a}{b+a}$，
∵|AB|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\sqrt{1+1}$•|$\frac{a}{b-a}$+$\frac{a}{b+a}$|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴$\sqrt{5}$（$\frac{b}{a}$）²+4×$\frac{b}{a}$-$\sqrt{5}$=0，
∵a＞b＞0，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{1}{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，正确运用弦长公式是关键．