Question

3．已知抛物线Γ：y²=2px，准线与x轴的交点为P（-2，0）．
（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）如图，Q（1，0），过点P的直线l与抛物线Γ交于不同的两点A，B，AQ与BQ分别与抛物线Γ交于点C，D，设AB，DC的斜率分别为k₁，k₂，AD，BC的斜率分别为k₃，k₄，问：是否存在常数λ，使得k₁k₃k₄=λk₂，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的性质，求出p，即可求抛物线Γ的方程；
（Ⅱ）假设存在实数λ，设AB的直线方程为x=my-2，与抛物线方程联立，由$\overrightarrow{AQ}∥\overrightarrow{AC}$化简可得y₁y₃=-8，同理可得y₂y₄=-8，利用k₁k₃k₄=λk₂，求出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）因为准线与x轴的交点为P（-2，0），所以p=4．
所以抛物线Γ的方程为y²=8x----------（4分）
（Ⅱ）假设存在实数λ
设AB的直线方程为x=my-2，$A（{\frac{y_1^2}{8}，{y_1}}）$，$B（{\frac{y_2^2}{8}，{y_3}}）$，$C（{\frac{y_3^2}{8}，{y_3}}）$，$D（{\frac{y_4^2}{8}，{y_4}}）$
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$化简得：y²-8my+16=0
所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=8m\\{y_1}{y_2}=16\end{array}\right.$----------（7分）
$\overrightarrow{AQ}=（{1-\frac{y_1^2}{8}，-{y_1}}），\overrightarrow{AC}=（{\frac{y_3^2}{8}-\frac{y_1^2}{8}，{y_3}-{y_1}}）$
由$\overrightarrow{AQ}∥\overrightarrow{AC}$化简可得y₁y₃=-8，
同理可得y₂y₄=-8----------（10分）
因为${k_1}=\frac{8}{{{y_1}+{y_2}}}$，${k_2}=\frac{8}{{{y_3}+{y_4}}}=\frac{8}{{\frac{-8}{y_1}+\frac{-8}{y_2}}}=-\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，${k_3}=\frac{8}{{{y_1}+{y_4}}}=\frac{8}{{{y_1}-\frac{8}{y_2}}}={y_2}$，${k_4}=\frac{8}{{{y_2}+{y_3}}}={y_1}$
所以代入k₁k₃k₄=λk₂得$\frac{8}{{{y_1}+{y_2}}}$y₁y₂=$-λ\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，
所以存在λ=-8----------（15分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．