Question

15．（理科）如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=4，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；
（Ⅲ）若AA₁=t，当t为何值时，PC∥平面AB₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知易得△PCD为等腰直角三角形，PD⊥PC，BC⊥面CC₁DD₁，可求BC⊥PD，从而可证得PD⊥平面PBC．
（Ⅱ）过P点在平面CC₁DD作PE⊥CD于E，连接AE，可得PE⊥面ABCD，∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角，利用tan∠PAE=$\frac{PE}{AE}$即可得解．
（Ⅲ）当t=4时，四边形面CC₁DD₁是一个正方形，可求∠PDC=45°，C₁D⊥PD．又PC∥C₁D．可证PC∥面AB₁C₁D，从而得证．

解答 解：（Ⅰ）证明：因为PD=PC=2$\sqrt{2}$，CD=AB=4，
所以△PCD为等腰直角三角形，
所以PD⊥PC．（1分）
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，所以BC⊥面CC₁DD₁，（2分）
而P∈面CC₁DD₁，所以PD?面CC₁DD₁，所以BC⊥PD．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，（4分）
（或PC∩BC=C也可）
由线面垂直的判定定理，（不说也可）
可得PD⊥平面PBC．
（Ⅱ）过P点在平面CC₁DD作PE⊥CD于E，连接AE．   （6分）
因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，（7分）
所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角      （8分）
因为PE=2，AE=$\sqrt{13}$，所以tan∠PAE=$\frac{PE}{AE}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$．   （9分）
所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．     （10分）
（Ⅲ）当t=4时，PC∥平面AB₁D．          （11分）
当t=4时，四边形面CC₁DD₁是一个正方形，所以∠C₁DC=45°，而∠PDC=45°，
所以∠PDC₁=90°，所以C₁D⊥PD．        （12分）
而PC⊥PD，C₁D与PC在同一个平面内，所以PC∥C₁D．        （13分）
而C₁D?平面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D．          （14分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．