【题目】如图,在四棱椎中, 是棱上一点,且,底面是边长为2的正方形, 为正三角形,且平面平面,平面与棱交于点.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)在正方形中, ,由面面垂直的性质定理可得,∴平面,又平面,∴,进而证得,又平面, ,
∴平面,∵平面,∴平面平面.
(2)取中点,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,求出相关点的坐标,进而得到平面的一个法向量,平面的一个法向量.由空间的夹角公式可求两个向量的的夹角,又由题意可得二面角为钝角,即可得到二面角的余弦值.
试题解析:
(1)在正方形中, ,又平面平面,且平面平面,
∴平面,又平面,∴,∵底面是正方形,∴,
又平面, 平面,∴平面.
又四点共面,且平面平面,∴,∴,
又,∴为棱的中点, 是棱中点,
∵是正三角形,∴,又平面, ,
∴平面,∵平面,∴平面平面.
(2)取中点,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则
, , , , , , , .
设平面的法向量为,则,∴, , ,解得, ,令,则为平面的一个法向量,设平面的法向量为,则, ,
∴, ,得, ,令,则为平面的一个法向量.
∴,由图知二面角为钝角,
∴二面角的余弦值为.
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【题目】对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 25 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,请列举出所有基本事件,并求至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.
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【题目】如图,在各棱长均为的三棱柱中,侧面底面, .
(1)求侧棱与平面所成角的正弦值的大小;
(2)已知点满足,在直线上是否存在点,使平面?若存在,请确定点的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图 1,在直角梯形中, ,且.现以为一边向形外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直, 为的中点,如图 2.
(1)求证: 平面;
(2)求证: 平面;
(3)求点到平面的距离.
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【题目】已知椭圆,,为椭圆的两个焦点,为椭圆上任意一点,且,构成等差数列,过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且,求出该圆的方程.
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