Question

已知函数f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]．求证：当b＜-2时，在闭区间[-1，1]上总存在一个x，使得|f（x）|≥|b|成立．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由条件利用二次函数的性质求得f（x）的最大值为f（-1）=1-b+c，f（x）的最小值为f（1）=1+b+c，分类讨论c值，可得在f（-1）和f（1）中，至少有一个满足|f（x）|≥|b|成立，从而证得结论．

解答： 解：∵b＜-2，∴二次函数f（x）=x²+bx+c的图象的对称轴x=-

b

2

＞1，故函数f（x）在[-1，1]上是减函数，
故f（x）的最大值为f（-1）=1-b+c，f（x）的最小值为f（1）=1+b+c．
①当c=0时，|f（-1）=|1-b|=1-b＞|b|成立．
②当-1≤c＜0时，0≤c+1＜1|f（-1）=|1-b+c|≥|-b|=|b|，即|f（-1）|≥|b|成立．
③当c＜-1时，c+1＜0，|f（1）=|1+b+c|≥|b|成立．
综上可得，当b＜-2时，在f（-1）和f（1）中，至少有一个满足|f（x）|≥|b|成立，
故当b＜-2时，在闭区间[-1，1]上总存在一个x，使得|f（x）|≥|b|成立．

点评：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．