Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-8n，令b_n=|a_n|．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，易求a_n=S_n-S_n-1=2n-9，当n=1时，a₁=-7=S₁，满足题设，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=|a_n|，易知当1≤n≤4或n＞4时，数列b_n是等差数列，从而利用等差数列的求和公式即可求得数列{b_n}的前n项和T_n的表达式．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²-8n）-[（n-1）²-8（n-1）]=2n-9，
当n=1时，a₁=-7=S₁，满足题设，
∴a_n=2n-9；
（2）∵b_n=|a_n|=

9-2n(1≤n≤4) 2n-9(n≥5)

，
∴当1≤n≤4或n＞4时，数列b_n是等差数列，
∴当1≤n≤4时，T_n=-S_n=8n-n²；
当n≥5时，T_n=-（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+…+a_n）
=-S₄+（S_n-S₄）
=S_n-2S₄
=n²-8n-2（4²-8×4）
=n²-8n+32．
∴T_n=

8n-n2，1≤n≤4 n2-8n+32，n＞4

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差关系的确定及通项公式、求和公式的应用，考查分类讨论思想与运算求解能力的运用，属于中档题．