Question

【题目】已知函数f(x)= x3-ax2,a∈R.

(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;

(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

Answer 1

【答案】（1）3x-y-9=0；（2）见解析.

【解析】试题分析：(1)求导，利用导数的几何意义进行求解；(2)求导，为了分析导函数的符号变化，再构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，进而得到原函数的单调性和极值.

(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.

(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,

所以g'(x)=f'(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x

=x(x-a)-(x-a)sin x

=(x-a)(x-sin x).

令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.

因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;

当x<0时,h(x)<0.

①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),

当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;

当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,

当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.

②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;

所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.

③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x).

当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;

当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;

当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;

当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sin a.

综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=- a3-sin a,极小值是g(0)=-a;

当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=- a3-sin a.