【题目】已知函数f(x)= x3-ax2,a∈R.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】(1)3x-y-9=0;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)求导,利用导数的几何意义进行求解;(2)求导,为了分析导函数的符号变化,再构造新函数,利用导数研究新函数的单调性,进而得到原函数的单调性和极值.
(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.
(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,
所以g'(x)=f'(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x
=x(x-a)-(x-a)sin x
=(x-a)(x-sin x).
令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.
因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;
当x<0时,h(x)<0.
①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),
当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,
当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.
②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;
所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.
③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x).
当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;
当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sin a.
综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=- a3-sin a,极小值是g(0)=-a;
当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;
当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=- a3-sin a.
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【题目】已知空间几何体中, 与均为边长为2的等边三角形, 为腰长为3的等腰三角形,平面平面,平面平面.
(1)试在平面内作一条直线,使得直线上任意一点与的连线均与平面平行,并给出详细证明;
(2)求三棱锥的体积.
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【题目】某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:
记录时间 | 累计里程 (单位:公里) | 平均耗电量(单位:公里) | 剩余续航里程 (单位:公里) |
2019年1月1日 | 4000 | 0.125 | 280 |
2019年1月2日 | 4100 | 0.126 | 146 |
(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=,下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是
A. 等于12.5B. 12.5到12.6之间
C. 等于12.6D. 大于12.6
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【题目】设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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【题目】某单位对一岗位面向社会公开招聘,若甲笔试成绩与面试成绩至少有一项比乙高,则称甲不亚于乙.在18位应聘者中,如果某应聘者不亚于其他17人,则称其为“优秀人才”.那么这18人中“优秀人才”数最多为( )
A. 1 B. 2 C. 9 D. 18
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【题目】已知抛物线C:,点在x轴的正半轴上,过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点,O为坐标原点.
若,且直线l的斜率为1,求证:以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切;
是否存在定点M,使得不论直线l绕点M如何转动,恒为定值?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求M∩P={x|5<x≤8}的充要条件;
(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.
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