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【题目】已知函数f(x)= x3-ax2,aR.

(1)a=2,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;

(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

【答案】(1)3x-y-9=0;(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)求导,利用导数的几何意义进行求解(2)求导,为了分析导函数的符号变化,再构造新函数,利用导数研究新函数的单调性,进而得到原函数的单调性和极值.

(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.

(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,

所以g'(x)=f'(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x

=x(x-a)-(x-a)sin x

=(x-a)(x-sin x).

h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.

因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;

x<0时,h(x)<0.

a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),

x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;

x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;

x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以当x=ag(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,

x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.

a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;

所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.

a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x).

x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;

x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;

x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;

x=ag(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sin a.

综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=- a3-sin a,极小值是g(0)=-a;

a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=- a3-sin a.

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记录时间

累计里程

(单位:公里)

平均耗电量(单位:公里)

剩余续航里程

(单位:公里)

2019年1月1日

4000

0.125

280

2019年1月2日

4100

0.126

146

(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=,下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是

A. 等于12.5B. 12.5到12.6之间

C. 等于12.6D. 大于12.6

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A. 1 B. 2 C. 9 D. 18

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