【题目】已知空间几何体中,
与
均为边长为2的等边三角形,
为腰长为3的等腰三角形,平面
平面
,平面
平面
.
(1)试在平面内作一条直线,使得直线上任意一点
与
的连线
均与平面
平行,并给出详细证明;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)取中点
,取
中点
,取
中点
,则根据等腰三角形性质得
,由面面垂直性质定理得
平面
,同理可得
平面
,即得
,由三角形中位线性质得
,因此可得面面平行,即得结论,(2)取
中点
,由面面垂直性质定理可得
平面
,再根据锥体体积公式求体积.
试题解析:(1)如图所示,取中点
,取
中点
,连结
,则
即为所求.
证明:取中点
,连结
,
∵为腰长为
的等腰三角形,
为
中点,
∴,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
∴平面
,
同理,可证平面
,
∴,
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
又,
分别为
,
中点,
∴,
∵平面
,
平面
,
∴平面
.
又,
平面
,
平面
,
∴平面平面
,
又平面
,∴
平面
.
(2)连结,取
中点
,连结
,则
,
由(1)可知平面
,
所以点到平面
的距离与点
到平面
的距离相等.
又是边长为
的等边三角形,∴
,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
∴平面
,∴
平面
,
∴,又
为
中点,∴
,
又,
,∴
.
∴
.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
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【题目】现有年龄在25到55岁的一群人身体上的某项数据,其频率分布直方图如下.(注:每组包括左端点,不包括右端点)
(1)请补全频率分布直方图;
(2)估计年龄的平均数;(精确到小数点后一位数字)
(3)若50到55岁的人数是50,现在想要从25到35岁的人群中用分层抽样的方法抽取30人,那么25到30岁这一组人中应该抽取多少人?
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【题目】已知函数f(x),对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x<0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)若f(6)=7,解不等式f(3m2-2m-2)<4.
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【题目】已知函数f(x)=x+,且此函数的图象过点(1,5).
(1)求实数m的值并判断f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在[2,+∞)上的单调性,证明你的结论.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,
为椭圆的上顶点,
为等边三角形,且其面积为
,
为椭圆的右顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆
相交于
两点(
不是左、右顶点),且满足
,试问:直线
是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,否则说明理由.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= x3-
ax2,a∈R.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
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【题目】某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为10 ℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )
A. B.
C.
D.
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