Question

【题目】已知函数f(x)，对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x<0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的减函数；

(2)若f(6)＝7，解不等式f(3m2－2m－2)<4.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) {m|m<－1或m>}.

【解析】

(1)利用函数的单调性的定义，即可证得函数f(x)是R上的减函数；

(2)因由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，可得f(6)＝f(3＋3)＝f(3)＋f(3)－1＝7，求得f(3)＝4，结合函数的单调性，把不等式转化为3m2－2m－2>3，即可求解.

(1)由题意，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1－x2<0，

因为当x<0时，f(x)>1，可得f(x1－x2)>1.

又因为f(x1)－f(x2)＝f((x1－x2)＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－1－f(x2)＝f(x1－x2)－1>0.

所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)是R上的减函数.

(2)因为f(x)对任意a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，

可得f(6)＝f(3＋3)＝f(3)＋f(3)－1＝7，所以f(3)＝4，

所以f(3m2－2m－2)<4＝f(3)，

又因为f(x)是R上的减函数，所以3m2－2m－2>3，解得m<－1或m>

所以不等式的解集为{m|m<－1或m>}.