Question

15．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AB=1，AD=AS=2，P是棱SD上一点，且$SP=\frac{1}{2}PD$．
（1）求直线AB与CP所成角的余弦值；
（2）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CP所成角的余弦值．
（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），
∵$SP=\frac{1}{2}PD$，∴（a，b，c-2）=$\frac{1}{2}$（-a，2-b，-c）=（-$\frac{a}{2}$，1-$\frac{b}{2}$，-$\frac{c}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{a}{2}}\\{b=1-\frac{b}{2}}\\{c-2=-\frac{c}{2}}\end{array}\right.$，解得a=0，b=$\frac{2}{3}$，c=$\frac{4}{3}$，∴P（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（-1，-$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
设直线AB与CP所成角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{CP}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}+\frac{16}{9}}}$=$\frac{3\sqrt{41}}{41}$，
∴直线AB与CP所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{41}}{41}$．
（2）$\overrightarrow{PC}$=（1，$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{PA}$=（0，-$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
设平面APC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=x+\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（-4，2，-1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=a+\frac{4}{3}b-\frac{4}{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=\frac{4}{3}b-\frac{4}{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
设二面角A-PC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{21}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{42}$．
∴二面角A-PC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{42}}{42}$．

点评 本题考查两直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．