Question

2．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是$\frac{π}{4}$，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
• C． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]

Answer 1

分析 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围．

解答 解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），
E（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），F（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
此时BG与BD所成角刚好30度，
即直线BD与PQ所成角的最小值为$\frac{π}{6}$，
取P（$\frac{1}{2}$，0，0），Q（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）时，直线BD于PQ所成角取最大值，
∵$\overrightarrow{BD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PQ}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{PQ}$＞=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{PQ}}{|\overrightarrow{BD}|•|\overrightarrow{PQ}|}$=0，
∴直线BD于PQ所成角最大值为$\frac{π}{2}$．
∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．