Question

已知函数f(x)=sin²x+2sinxcosx+3cos²x,x∈R,求:

(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合;

(2)函数f(x)的单调增区间.

Answer 1

(1)解析一:∵f(x)=+sin2x+

=2+sin2x+cos2x

=2+sin(2x+),

∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+.

因此,f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+,k∈c}.

解析二:∵f(x)=(sin²x+cos²x)+sin2x+2cos²x=1+sin2x+1+cos2x=2+sin(2x+),

∴当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+.

因此,f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+,k∈Z}.

(2)解析:f(x)=2+sin(2x+).

由题意得2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

因此f(x)的单调增区间是［kπ-,kπ+］(k∈Z).

点评：在求函数的单调区间时，应首先将解析式化简为y=Asin(ωx+φ)的形式.