Question

18．已知数列{a_n}的通项公式a_n=4ⁿ-2ⁿ，其前n项和为S_n，则数列{$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$．

Answer 1

分析 通过分组法求和可知S_n=$\frac{4}{3}$（2ⁿ-1）（2ⁿ-$\frac{1}{2}$），进而裂项可知$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{3}{2}$•（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n=4ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{3}•$4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$（2ⁿ-1）（2ⁿ-$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{\frac{4}{3}（{2}^{n}-1）（{2}^{n}-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{3}{2}$•（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴T_n=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．