Question

9．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是（　　）

• A． 若f（x₁）=f（x₂），则x₁-x₂=kπ，k∈Z
• B． f（x）的图象关于点（$-\frac{3}{8}π$，0）对称
• C． f（x）的图象关于直线$x=\frac{5}{8}π$对称
• D． f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得$g（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由三角函数的图象和性质逐个选项验证可得．

解答 解：化简可得f（x）=cos2x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
计算可得f（-$\frac{π}{8}$）=f（$\frac{3π}{8}$）=0，
但-$\frac{π}{8}$-$\frac{3π}{8}$=-$\frac{π}{2}$≠kπ，故A错误；
当x=-$\frac{3π}{8}$时，2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，
故x=-$\frac{3π}{8}$为函数的对称轴，故B错误；
当x=$\frac{5π}{8}$时，2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，
故x=$\frac{5π}{8}$为函数的对称轴，故C正确；
f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位后得到
y=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）的图象，故D错误．
故选：C

点评 本题考查三角函数的图象和性质，涉及和差角的三角函数公式，属基础题．