Question

20．平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=4，且向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，则|$\overrightarrow{b}$|为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由向量的数量积运算和题意可得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$互相垂直，由勾股定理可得答案．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=4，且向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{3}$=2×4×$\frac{1}{2}$=4，
又$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴4+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$互相垂直，
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$
故答案为：2$\sqrt{3}$

点评 本题考查平面向量数量积和夹角的关系，涉及模长公式，属基础题．