Question

19．命题p：在f（x）=-x²+2ax+1-a，x∈[0，1]时的最大值不超过2，命题q：正数x，y满足x+2y=8，且a≤$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$恒成立．若p∨￢q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出关于p，q为真时的a的范围，根据p∨￢q为假命题，得到p假q真，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：关于命题p：f（x）=-x²+2ax+1-a，
函数f（x）的对称轴是：x=a，
①a≥1时：f（x）在[0，1]递增，f（x）_max=f（1）=-1+2a+1-a=a≤2，故1≤a≤2；
②0＜a＜1时：f（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，
∴f（x）_max=f（a）=a²-a+1≤2，解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴0＜a＜1；
③a≤0时：f（x）在[0，1]递减，
∴f（x）_max=f（0）=1-a≤2，解得：a≥-1，即-1≤a≤0；
综合①②③得：a∈[-1，2]；
命题q：正数x，y满足x+2y=8，则$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$=1，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）（$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{4}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{y}{2x}$+$\frac{x}{8y}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{y}{2x}•\frac{x}{8y}}$=1，
∴a≤1，即a∈（-∞，1]；
若p∨￢q为假命题，则p假q真                                           
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞2}\\{a≤1}\end{array}\right.$，解得：a＜-1．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的最值问题，基本不等式的应用，是一道中档题．