Question

设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是Q，点M，试判断|PM|＋|PQ|是否存在最小值，若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由；

(3)过抛物线焦点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于A，C，B，D，求四边形ABCD面积的最小值．

 

Answer 1

（1）y2＝2x.（2）（3）8.

【解析】(1) 由题意知以直线l：x＝－为准线的抛物线，得＝，∴p＝1，方程为y2＝2x.

(2)易知点M在抛物线的外侧，延长PQ交直线x＝－于点N，

由抛物线的定义可知|PN|＝|PQ|＋＝|PF|，

当三点M，P，F共线时，|PM|＋|PF|最小，此时为|PM|＋|PF|＝|MF|.

又焦点坐标为F，所以|MF|＝＝2，

即|PM|＋＋|PQ|的最小值为2，所以|PM|＋|PQ|的最小值为.

(3)设过F的直线方程为y＝k ，A(x1，y1)，C(x2，y2)，

由得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，

由韦达定理得x1＋x2＝1＋，x1x2＝，

所以|AC|＝＝2＋，

同理|BD|＝2＋2k2.

所以四边形ABCD的面积S＝＝2≥8，

即四边形ABCD面积的最小值为8.