Question

已知数列{}的首项=5，前项和为，且

（I）证明数列{+1}是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数并比较2与的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知

∴时，

两式相减，得

，

即，

从而，

当时

∴

又，∴，

从而     

故总有，、

又∵，

∴

从而

即是以为首项，2为公比的等比数列。

（II）由（I）知。

∵

∴。

从而    

=

=

=

=

=。

由上  

      （*）

当时，（*）式=0

∴；

当时，（*）式=－12<0

∴

当时，

又

∴

即（*）>0

从而

（或用数学归纳法：时，猜想   

由于，只要证明。事实上，

      1*     当 时，

      不等式成立，

      2*  设时（k≥3），有

      则   

           

            .

∵ ，∴.

从而

          

即 时，亦有.

综上1*、2*知，  对，n∈N* 都成立。

∴时，有）

综上    n=1时，

        n=2时，

        n≥3时，