Question

【题目】设函数

（1）当时，求函数的极值.

（2）若函数在区间上有唯一的零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）

【解析】

（1）由a=1，得函数f（x）的解析式，求出其导函数以及导数为0的根，通过比较两根的大小找到函数的单调区间，进而求出f（x）的极小值；（2）求导后按a 进行分类讨论，求出a的范围.

（1） 时， 函数的定义域为

令解得或（舍）

时，，单调递减；时，，单调递增

列表如下

		1
	-	0	+
	单调递减	极小值	单调递增

所以时，函数的极小值为，函数无极大值.

（2） ，其中

当时，恒成立，单调递增，又因为

所以函数在区间上有唯一的零点，符合题意。

当时，恒成立，单调递减，又因为

所以函数在区间上有唯一的零点，符合题意。

当时，

时，，单调递减，又因为

所以函数在区间上有唯一的零点；

时，，单调递增，又因为

所以当时符合题意，即

所以时，函数在区间上有唯一的零点；

所以的取值范围是