Question

7．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若$\overrightarrow{AP}=（{m+\frac{2}{9}}）\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$，则实数m的值为（　　）

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 由题意可知：$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{AC}$，由$\overrightarrow{AP}=（{m+\frac{2}{9}}）\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，根据向量相等可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{4}=\frac{2}{9}}\\{1-λ=m}\end{array}\right.$，即可求得m的值．

解答 解：N为线段AC上接近A点的四等分点，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$，则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$）=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AN}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}=（{m+\frac{2}{9}}）\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{4}=\frac{2}{9}}\\{1-λ=m}\end{array}\right.$，即λ=$\frac{8}{9}$，m=$\frac{1}{9}$，
故答案选：A．

点评 本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则及两个向量相等的充要条件，考查数形结合思想，属于基础题．