Question

20．已知f（x）=（1-2x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，则：
（1）a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=-10
（2）a₀+2a₁+3a₂+…+11a₁₀=21
（3）若f（x）=b₀+b₁（x-1）+b₂（x-1）²+…+b₁₀（x-1）¹⁰，则b₄=6720．

Answer 1

分析 （1）求导数，令x=1，可得a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀；
（2）同乘以x，求导数，令x=1，可得a₀+2a₁+3a₂+…+11a₁₀；
（3）f（x+1）=b₀+b₁x+b₂x²+…+b₁₀x¹⁰=（1+2x）¹⁰，即可求出b₄．

解答 解：（1）∵（1-2x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
∴10（1-2x）⁹=a₁+2a₂x+…+10a₁₀x⁹，
令x=1，可得a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=-10；
（2）∵（1-2x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
∴x（1-2x）¹⁰=a₀x+a₁x²+a₂x³+…+a₁₀x¹¹，
∴（1-22x）（1-2x）⁹=a₀+2a₁x+3a₂x²+…+11a₁₀x¹⁰，
令x=1，可得a₀+2a₁+3a₂+…+11a₁₀=21；
（3）∵f（x）=b₀+b₁（x-1）+b₂（x-1）²+…+b₁₀（x-1）¹⁰，
∴f（x+1）=b₀+b₁x+b₂x²+…+b₁₀x¹⁰=（1+2x）¹⁰，
∴b₄=${C}_{10}^{6}•{2}^{4}$=6720

点评 本题考查赋值法的运用，考查导数知识，正确赋值是关键．