【题目】以表示值域为
的函数组成的集合,
表示具有如下性质的函数
组成的集合:对于函数
,存在一个正数
,使得函数
的值域包含于区间
。例如,当
,
时,
,
。则下列命题中正确的是:( )
A.设函数的定义域为
,则“
”的充要条件是“
,
,
”
B.函数的充要条件是
有最大值和最小值
C.若函数,
的定义域相同,且
,
,则
D.若函数有最大值,则
【答案】ACD
【解析】
A选项中,根据函数的定义域、值域的定义,转化成用简易逻辑语言表示出来;
B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集,但值域是一个开区间,从而说明函数没有最值;C选项中从并集的角度认识函数值域,可以发现
,从而发现命题正确;D选项中从极限的角度证明
,
均不成立,所以
,再求出函数
的值域为
,从而得到命题D正确.
对A,“”即函数
值域为
,“
,
,
”表示的是函数可以在
中任意取值,故有:设函数
的定义域为
,则“
”的充要条件是“
,
,
”,
命题A是真命题;
对B,若函数,即存在一个正数
,使得函数
的值域包含于区间
.
.例如:函数
满足
,则有
,此时,
无最大值,无最小值.
命题B“若函数
,则
有最大值和最小值.”是假命题;
对C,若函数,
的定义域相同,且
,
,则
值域为
,
,并且存在一个正数
,使得
,
,则
.
命题C是真命题.
对D,函数
有最大值,
假设
,当
时,
,
,
,则
,与题意不符; 假设
,当
时,
,
,
,则
,与题意不符.
,即函数
,当
时,
,
,即
;当
时,
;当
时,
,
,即
.
,即
,故命题D是真命题.
故选:ACD.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知奇函数f(x)=(a-x)|x|,常数a∈R,且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2,2]恒成立,则实数m的取值范围是______.
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【题目】已知动点P到定点的距离比它到直线
的距离小2,设动点P的轨迹为曲线C.
求曲线C的方程;
若直线
与曲线C和圆
从左至右的交点依次为A,B,C,D求
的值.
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【题目】已知函数 .
(1)当时,函数
恒有意义,求实数
的取值范围;
(2)是否存在这样的实数,使得函数f(x)在区间
上为减函数,并且最大值为
?如果存在,试求出
的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,河的两岸分别有生活小区和
,其中
,
三点共线,
与
的延长线交于点
,测得
,
,
,
,
,若以
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系
则河岸
可看成是曲线
(其中
是常数)的一部分,河岸
可看成是直线
(其中
为常数)的一部分.
(1)求的值.
(2)现准备建一座桥,其中
分别在
上,且
,
的横坐标为
.写出桥
的长
关于
的函数关系式
,并标明定义域;当
为何值时,
取到最小值?最小值是多少?
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【题目】已知圆与直线
相切,设点
为圆上一动点,
轴于
,且动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)直线与直线
垂直且与曲线
交于
两点,求
面积的最大值.
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【题目】某种蔬菜从1月1日起开始上市,通过市场调查,得到该蔬菜种植成本(单位:元/
)与上市时间
(单位:10天)的数据如下表:
时间 | 5 | 11 | 25 |
种植成本 | 15 | 10.8 | 15 |
(1)根据上表数据,从下列函数:,
,
,
中(其中
),选取一个合适的函数模型描述该蔬菜种植成本
与上市时间
的变化关系;
(2)利用你选取的函数模型,求该蔬菜种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.
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【题目】某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重.该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数.f(t),随时刻t(时)变化的规律满足表达式,其中a为空气治理调节参数,且a∈(0,1).
(1)令,求x的取值范围;
(2)若规定每天中f(t)的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围.
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