Question

9．设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin²A=sin（$\frac{π}{3}$+B）sin（$\frac{π}{3}$-B）+sin²B；
（1）求角A的大小；
（2）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）化简已知式子，结合△ABC是锐角三角形可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得BC，可得△ABC为直角三角形且B为直角，由勾股定理可得．

解答 解：（1）由题意可得sin²A=sin（$\frac{π}{3}$+B）sin（$\frac{π}{3}$-B）+sin²B
=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB-$\frac{1}{2}$sinB）+sin²B
=$\frac{3}{4}$cos²B-$\frac{1}{4}$sin²B+sin²B=$\frac{3}{4}$（1-sin²B）+$\frac{3}{4}$sin²B=$\frac{3}{4}$，
又∵△ABC是锐角三角形，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）在△ABC中，b=2，c=1，D为BC的中点，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴△ABC为直角三角形且B为直角，∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴在△ABD中由勾股定理可得AD=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查解三角形，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．