Question

13．已知函数$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，若对任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f（x）≥m²-2tm+2恒成立，则实数t的取值范围是[$\frac{5}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 将问题转化为m²-2tm+1≤0对?m∈[1，2]恒成立，得不等式组，解出即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）的极小值即最小值是f（1）=1；
（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以m²-2tm+2≤f（x）_min=f（1）=1即m²-2tm+1≤0对?m∈[1，2]恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{1-2t+1≤0}\\{4-4t+1≤0}\end{array}\right.$，解得t≥$\frac{5}{4}$，
故答案为：[$\frac{5}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查了导数的应用，不等式恒成立问题，是一道中档题．