Question

已知函数f（x）=x²+（2-n）x-2n的图象与x轴正半轴的交点为A（a_n，0），n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令为正整数），对任意的正整数n，都有b_n+1＞b_n，求λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）设f（x）=0，x²+（2-n）x-2n=0
得 x₁=-2，x₂=n．
所以a_n=n

（2）b_n=3ⁿ+λ•2ⁿ，
b_n+1=3ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ⁺¹

因为b_n+1＞b_n对于任意的正整数n恒成立，
即：3ⁿ⁺¹+λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+λ•2ⁿ恒成立 

2•3ⁿ＞-λ•2ⁿ，
∴

∵，
∴
∴λ＞-3

分析：（1）根据题意将方程f（x）=0化成一元二次方程，解出此方程的根，由条件正数的那个解即为数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）的结论，得，通过作差将b_n+1＞b_n变形，得2•3ⁿ＞-λ•2ⁿ，再利用变量分离可得，最终可以求出实数λ的取值范围．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的单调性等知识点，属于中档题．注意解题时运用数列的函数性质，和利用变量分离的思路处理不等式的技巧．