Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱CC₁垂直于底面ABC，AC=3，AB=5，CB=4，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求三棱锥A₁-B₁CD的体积．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得AC⊥BC，由CC₁⊥面ABC 得到CC₁⊥AC，从而得到AC⊥面BCC₁，故AC⊥BC₁．
（2）C作CF⊥AB垂足为F，CF⊥面ABB₁A₁，面积法求CF，求出三角形DB₁A₁的面积，代入体积公式进行运算．

解答 （1）证明：在△ABC中，∵AC=3，AB=5，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC₁，∴AC⊥BC₁．  
（2）解：在△ABC中，过C作CF⊥AB，F为垂足，
∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，且平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
由AC×BC=AB×h，得$h=\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$．
∴三棱锥A₁-B₁CD的体积V=${V}_{C-{A}_{1}D{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}D{B}_{1}}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×5×4×\frac{12}{5}$=8．

点评 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求三棱锥的体积，求点C到面A₁B₁D的距离是解题的难点．