Question

17．若函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，由导函数等于0，得到2a=x+$\frac{1}{x}$，利用基本不等式求得x+$\frac{1}{x}$的范围即可得到所求范围．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2ax+lnx，
可得f'（x）=x-2a+$\frac{1}{x}$，
由题意可知存在实数x＞0，使得f'（x）=x-2a+$\frac{1}{x}$=0，
即2a=x+$\frac{1}{x}$成立，
2a=x+$\frac{1}{x}$≥2（当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时等号取到），
即a≥1，
即有实数a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，同时考查转化思想的运用，是中档题．