Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|=5，向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$的夹角正弦值为$\frac{3}{5}$，|$\overrightarrow{c}$|=4+$\sqrt{3}$或$\sqrt{37-16\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{BC}$，运用四点共圆的知识和解三角形的正弦、余弦定理，即可得到所求．

解答 解：作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
则$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{BC}$，
由题意可得△OAB为边长为5的等边三角形，
向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，可得∠ACB=120°，
由∠AOB+∠ACB=180°，可得四点O，A，B，C共圆，
在△ABC中，CA=2$\sqrt{3}$，AB=5，∠ACB=120°，
由正弦定理可得sin∠CBA=$\frac{AC•sin120°}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}{5}$=$\frac{3}{5}$，
在△OAC中，OA=5，AC=2$\sqrt{3}$，∠OCA=60°，
由余弦定理可得5²=OC²+12-2OC•2$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$，
解得OC=4+$\sqrt{3}$．
当C在△OAB中，同理可得sin∠CBA=$\frac{3}{5}$，OC=$\sqrt{37-16\sqrt{3}}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$，4+$\sqrt{3}$或$\sqrt{37-16\sqrt{3}}$．

点评 本题考查向量的三角形法则和向量夹角的概念，同时考查解三角形的正弦、余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．