Question

已知函数f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，实数a，b为常数）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若a=-2-b，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a和b的值代入解析式确定出f（x），求出f（x）的导函数，把x=1代入f（x）中求出f（1）的值即为切点的纵坐标，得到切点坐标，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程即可；（Ⅱ）把a=-2-b代入解析式表示出f（x），求出f（x）的导函数，又根据负数没有对数求出f（x）的定义域，令导函数等于0求出x的值为

b

2

和1，分四种情况考虑：

b

2

小于等于0；

b

2

大于0小于1；

b

2

等于1；

b

2

大于1，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）因为a=1，b=-1，所以函数f（x）=x²+x-lnx，f（1）=2
又f′(x)=2x+1-

1

x

，f′（1）=2（2分）
所以y-2=2（x-1）
即f（x）在x=1处的切线方程为2x-y=0（5分）
（Ⅱ）因为a=-2-b，所以f（x）=x²-（2+b）x+blnx，
则f′(x)=2x-(2+b)+

b

x

=

(2x-b)(x-1)

x

（x＞0）
令f'（x）=0，得x1=

b

2

，x₂=1．（7分）
①当

b

2

≤0，即b≤0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；（8分）
②当0＜

b

2

＜1，即0＜b＜2时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	(0， b 2 )	( b 2 ，1)	（1，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

所以，函数f（x）的单调递增区间为(0，

b

2

)∪（1，+∞），单调递减区间为(

b

2

，1)；（9分）
③当

b

2

=1，即b=2时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（10分）
④当

b

2

＞1，即b＞2时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	(1， b 2 )	( b 2 ，+∞)
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1），(

b

2

，+∞)，单调递减区间为(1，

b

2

)；（12分）
综上，当b≤0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
当0＜b＜2时，函数f（x）的单调递增区间为(0，

b

2

)∪（1，+∞），单调递减区间为(

b

2

，1)；
当b=2时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当b＞2时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），(

b

2

，+∞)，单调递减区间为(1，

b

2

)．（13分）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．