Question

12．已知等比数列{b_n}前n项和为S_n=3ⁿ-k（k∈R），公差为k的等差数列{a_n}，满足b₁=a₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{（2{a}_{n}-1）{b}_{n+2}}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}，的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得k=1，从而求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简c_n=$\frac{（2{a}_{n}-1）{b}_{n+2}}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$，从而求T_n=（$\frac{{3}^{3}}{3}$-$\frac{{3}^{2}}{2}$）+（$\frac{{3}^{4}}{4}$-$\frac{{3}^{3}}{3}$）+…+（$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$）=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{9}{2}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3ⁿ-k为等比数列，
∴k=1，b₁=a₁=S₁=3¹-1=2，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
b_n=2•3^n-1；
（Ⅱ）∵c_n=$\frac{（2{a}_{n}-1）{b}_{n+2}}{2{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{（2n+1）2•{3}^{n+1}}{2（n+1）（n+2）}$
=$\frac{（2n+1）{3}^{n+1}}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$，
∴T_n=（$\frac{{3}^{3}}{3}$-$\frac{{3}^{2}}{2}$）+（$\frac{{3}^{4}}{4}$-$\frac{{3}^{3}}{3}$）+…+（$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$）
=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{{3}^{2}}{2}$
=$\frac{{3}^{n+2}}{n+2}$-$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属于中档题．