【题目】设正数、满足会且使得关于的不等式总有实数解.试求的取值范围.
【答案】
【解析】
首先,求出、应满足的条件.由原不等式得下列的各个等价形式:,两边同时平方并整理得. ①
令,则,代入式①得
,
即. ②
下面分3种情形讨论:
当时,式②变为,有解.
当,充分大时,式②有解.
当时,首先要求判别式,有,
即. ③
令.
由于,所以,方程有两个实根、.因为,所以,必有.又因为抛物线开口向上,所以,不等式在时总是有解.
综合上述得,、应满足的充分必要条件是, ④
即. ⑤
注意到式⑤与三角恒等式的“相似性”,
故令,.
则 ,
其中,.
令,则. ⑥
当时,由式⑥得,.
当时,由式⑥解得 .
若,则,
即
它等价于
即矛盾.
故这种情形不可能存在.从而,只有一种可能,
即.
于是,.
这时有两种可能:
(1)
或(2)
由(1)可解得,由(2)可解得.
综上可知,的取值范围是.
又,所以,的取值范围是,即能取遍中的每一个值(与是相互独立的).
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【题目】某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了名员工进行问卷调查,其中的员工工作积极.经汇总调查,这名员工是否支持企业改革的调查得分(百分制)如茎叶图(图)所示.调查评价标准指出:调查得分不低于分者为积极支持企业改革,调查得分低于70分者不太赞成企业改革.
(1)根据以上资料完成下面的列联表,结合数据能否有的把握认为员工的工作积极性与“是否积极支持企业改革”是有关的,并回答人力资源部的研究项目.
积极支持企业改革 | 不太赞成企业改革 | 总计 | |
工作积极 | |||
工作一般 | |||
总计 |
(2)现将名员工的调查得分分为如下组:,,,,其频率分布直方图如图所示,这名员工的调查数据得分的平均值可由茎叶图得到,记为,由频率分布直方图得到的估计值记为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),与的误差值在以内,可以由代替,能否由代替?(提示:名员工的调查数据得分的和)
(3)该企业人力资源部从分以上的员工中任选名员工进行座谈,则所选员工的分数超过分的人数的数学期望是多少?
附:.
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【题目】(多选题)对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到如下折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.其中正确的选项有( )
A.甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;
B.根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间内;
C.乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;
D.乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.
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【题目】某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在内,发布成绩使用等级制,各等级划分标准见下表.
百分制 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等级 | A | B | C | D |
规定:A,B,C三级为合格等级,D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况,从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.
按照,,,,的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示
求n和频率分布直方图中的x,y的值,并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率;
根据频率分布直方图,求成绩的中位数精确到;
在选取的样本中,从A,D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研,求至少有一名学生是A等级的概率.
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【题目】已知四个函数,其中,的图像如图所示.
(1)请在坐标系中画出,的图像,并根据这四个函数的图像总结出指数函数具有哪些性质?
(2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由.
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用(单位:万元)与隔热层厚度(单位:厘米)满足关系:.若不建隔热层,每年的能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用最小,并求其最小值.
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【题目】已知二次函数.
(1)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(2)若在区间上是减函数,求在区间上的最小值和最大值;
(3)若在区间上有零点,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数图象相邻两条对称轴的距离为,将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象关于y轴对称则函数的图象( )
A. 关于直线对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于点对称
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