Question

已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥3．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式的解法

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）|x+1|+|x-2|≥（x+1）（x-2）=3，即可求m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证．

解答： （Ⅰ）解：因为|x+1|+|x-2|≥（x+1）（x-2）=3
当且仅当-1≤x≤2时，等号成立，
所以f（x）的最小值等于3，即m=3
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，
所以（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=9，
所以a²+b²+c²≥3

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．