Question

8．如图，已知过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点A₂作一个圆，该圆与其渐近线bx-ay=0交于点P，Q，若∠PA₂Q=90°，|PQ|=2|OP|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得△QA₂P为等腰直角三角形，设|A₂Q|=R，取PQ的中点M，求得|OM|=|PQ|，|A₂M|，由渐近线的斜率和正切函数的定义，计算可得a=2b，运用离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：因为∠PA₂Q=90°，|PQ|=2|OP|，
所以△QA₂P为等腰直角三角形，
设|A₂Q|=R，则|PQ|=$\sqrt{2}$R，|OP|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，
取PQ的中点M，则|A₂M|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，|OM|=|OP|+|PM|=$\sqrt{2}$R，
在直角△OMA₂中，tan∠MOA₂=$\frac{b}{a}$=$\frac{{A}_{2}M}{OM}$=$\frac{\frac{1}{2}|PQ|}{|OM|}$=$\frac{1}{2}$，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质，主要是离心率的求法，考查垂径定理、正切函数的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．